Garis Singgung Persekutuan Dalam dan Luar

 

Pada artikel berikut akan dibahas mengenai garis singgung persekutuan dalam dan luar pada dua buah lingkaran. Dua buah lingkaran di dalam suatu bidang yang sama, dapat dibuat dua buah garis singgung persekutuan. Garis singgung ini dinamakan garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Simak pembahasannya berikut ini. 

1. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Ulasan materi terkait garis singgung lingkaran yang pertama akan dibahas adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran persekutuan dalam melibatkan dua lingkaran dan sebuah garis singgung lingkaran. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.
Garis singgung persekutuan dalam

Pada gambar di atas, diketahui bahwa : 
  • Pusat lingkaran pertama adalah P1
  • Pusat Lingkaran kedua adalah P2
  • Jari – Jari Lingkaran pertama adalah r1
  • Jari – Jari Lingkaran kedua adalah r2
  • Titik potong garis persekutuan AB dengan jarak pusak kedua lingkaran adalah E
Perhatikan bahwa : 
  • Sudut P1AE = Sudut EBP2 yaitu 90 derajat dan 
  • Sudut AEP1 = Sudut BEP2 yaitu bertolak belakang. 
  • Maka Segitiga AEP1 = Segitiga BEP2. 
  • Hal ini mengakibatkan P1E : EP2 = r1 : r2

Teks 3

Perhatikan bahwa titik E dilalui oleh garis singgung persekutuan AB, sehingga persamaan berikut : 
Teks 4

akan menjadi persamaan :
Teks 5

dengan manipulasi aljabar, akan diperoleh nilai dari “m”

Setelah nilai “m” diperoleh, selanjutnya salah satu alternatif penyelesaian, tinggal mencari persamaan garis lurus yang melalui 1 titik dan bergradien “m”, yakni:

Lihat Juga : Pengertian, Sifat, Unsur dan Jaring-jaring balok

2. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Garis singgung lingkaran yang kedua yang akan dibahas adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran persekutuan luar melibatkan dua lingkaran dan sebuah garis singgung lingkaran. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.
Garis singgung persekutuan luarSama halnya dengan garis singgung persekutuan dalam, garis singgung persekutuan luar juga didapat dengan menerapkan konsep teorema phytagoras.

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

  \[ PP' = \sqrt{OP^{2}-\left( OP'\right)^{2}} \]

Karena OP' = OA + BP = R + r maka,

  \[ PP' = \sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}} \]

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan dalam

  \[ AB = PP' = \sqrt{OP^{2} - (R + r)^{2}} \]

Keterangan:
        AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran
        OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran
        R = Jari-jari lingkaran besar
        r = jari-jari lingkaran kecil

Lihat Juga : Properties of circle and its’ example

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran (SOAL Ujian Nasional (UN) Matematika SMP 2016)

Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….
A.     6 cm
B.     8 cm
C.     9 cm
D.     10 cm
 
Alternatif Jawaban:
Dari soal di atas, diperoleh data yang dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini.
 
garis singgung lingkaran persekutuan luar
 

  \[AB =\sqrt{OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}}\]

  \[AB^{2} =OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}\]

  \[24^{2} =26^{2}-\left( 18 - r\right)^{2}\]

  \[676 =576 - \left( 18 - r\right)^{2}\]

  \[\left( 18 - r\right)^{2} =676 - 576 \]

  \[\left( 18 - r\right)^{2} = 100 \]

  \[ 18 - r = 10 \]

  \[ - r = 10 -18 \]

  \[ - r = -8 \rightarrow r = 8 \; cm \]

Maka, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm. (Jawaban: D)

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran 

Perhatikan gambar berikut!
 
garis singgung lingkaran dalam
 
Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….
A.     12 cm
B.     15 cm
C.     17 cm
D.     20 cm

Pembahasan:

  \[ AB = \sqrt{OP^{2} - PC^{2}} \]

  \[ AB = \sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}} \]

  \[ AB = \sqrt{25^{2} - \left( 10 + 5\right)^{2}} \]

  \[ AB = \sqrt{625 - 225} \]

  \[ AB = \sqrt{400} \]

  \[ AB = 20 \; cm \]

Maka, panjang garis singgung AB adalah 20 cm. (Jawaban: D)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *